江苏高考专题练习（理科）：椭圆
【变式训练2】 (1)(2013·课标全国卷改编)设椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F2=30°，则C的离心率为________.
(2)(2014·徐州一中抽测)已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2=60°.则椭圆离心率的范围为________.
[解析]
(1)如图，在RtPF1F2中，PF1F2=30°，|PF1|=2|PF2|，
且|PF2|=|F1F2|，
又|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=a，于是|F1F2|=a，
因此离心率e===.
(2)法一：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，
|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a.
在PF1F2中，由余弦定理可知，
4c2=m2+n2-2mncos 60°=(m+n)2-3mn
=4a2-3mn≥4a2-3·2=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).≥，即e≥.
又0b>0)的右焦点为F(1,0)，过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点.
【变式训练3】 (2013·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若·+·=8，求k的值.
[解] (1)设F(-c,0)，由=，知a=c.
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c，代入椭圆方程有+=1，解得y=±，
于是=，解得b=，则b2=2
又因为a2-c2=b2，从而a2=3，c2=1，
所以所求椭圆的方程为+=1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1)，由方程组消去y，得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
根据根与系数的关系知x1+x2=-，
x1x2=.
因为A(-，0)，B(，0)，
所以·+·=(x1+，y1)·(-x2，-y2)+(x2+，y2)·(-x1，-y1)
=6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2
=6+.
由已知得6+=8，解得k=±.
掌握1条规律 椭圆焦点位置与x2，y2系数之间的关系
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