江苏高考专题练习（理科）：双曲线

【典例2】　(1)(2014·重庆高考)设F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(PF1-PF2)2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为________.

(2)(2014·江西高考改编)过双曲线C：-=1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为________.

[思路点拨]　(1)由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a，代入等式可得关于a，b的等式，再由c2=a2+b2，可得a，c的关系等式，进而由=e，求得e的值.

(2)设双曲线的右焦点为F，右顶点为B，找出A与O，B，F连线的几何关系，即可求出a，b的值.

[解析]　(1)|PF1|-|PF2|=2a，

(2a)2=b2-3ab，即4a2=b2-3ab，即4a2+3ab-b2=0，

(4a-b)(a+b)=0，b=4a.

又c2=b2+a2，c2=17a2，e2=17，即e=.

(2)如图，设双曲线的右焦点为F，右顶点为B，设渐近线OA的方程为y=x，

由题意知，以F为半径的圆过点O，A，|FA|=|FO|=r=4.

AB⊥x轴，A为直线AB与渐近线y=x的交点，

A点坐标为A(a，b).

在RtABO中，|OA|=

OAF为等边三角形且边长为4，B为OF的中点，

|OB|=a=2，|AB|=b=2，

双曲线的方程为-=1.

[答案]　(1)　(2)-=1,【通关锦囊】

【变式训练2】　(1)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为________.

(2)(2014·南京模拟)若双曲线-=1(a，b>0)右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的取值范围为________.

[解析]　(1)由e==，设a=2k，c=k(k>0)，

由b2=c2-a2=k2，知b=k.所以=.

故渐近线方程为y=±x.

(2)设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P到右准线的距离为d，则由题意知PF1=6d.又PF1-PF2=2a，PF2=6d-2a.由双曲线的第二定义得

=e，即=，d=，又d≥a-，

整理得又=e，∴3≤e<6或e≤2，又e>1，

e∈(1,2]∪[3,6).

[答案]　(1)y=±x　(2)(1,2][3,6)

考向3　直线和双曲线的综合

【典例3】　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，右准线方程为x=.

(1)求双曲线C的方程;

(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值.

[解]　(1)由题意，得解得a=1，c=，所以b2=c2-a2=2，所以所求双曲线C的方程为x2-=1.

(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，

由得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0)，

解得x1=m+，x2=m-，所以x0==m，y0=x0+m=2m.

点M(x0，y0)在圆x2+y2=5上，m2+(2m)2=5，m=±1